完全非弹性碰撞速度公式推导

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证明：完全非弹性碰撞机械能损失最大（碰撞后共速）
1、证明命题之前熟悉一下矢量点积（标积）的概念。
假设有矢量A、B，则：A
B
=
|A|*|B|
cosθ
θ是两个矢量的夹角。|A|、|B|是矢量的大小（模）。
矢量的点积遵守分配律和结合律：
(A
+
B)
(C
+
D)
=
A
C
+
A
D
+
B
C
+
B
D
2、证明命题
假设在平面空间中（立体空间也可，不过两个矢量肯定在一个平面上）有两个物体，质量分别是m1、m2，速度分别是矢量V1、V2，发生碰撞以后，分别以V1'，V2' 。
不管发生什么碰撞，系统都是内力作用，没有外力，因此动量守恒：
m1V1
+
m2V2
=
m1V1'
+
m2V2'
(m1V1
+
m2V2)
(m1V1
+
m2V2)
=
(m1V1'
+
m2V2')
(m1V1'
+
m2V2')
m1^2|V1|^2
+
m2^2|V2|^2
+
2m1m2
V1
V2
=
m1^2|V1'|^2
+
m2^2|V2'|^2
+
2m1m2
V1'
V2'
1/2
m1^2|V1'|^2
+
1/2
m2^2|V2'|^2
+
m1m2
V1'
V2'=
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2V1'
V2'
而m1^2|V1|^2
+
m2^2|V2|^2
+
2m1m2
V1
V2
为定值，设为C
所以：
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2V1'
V2'
=
C
（E1'、E2'是碰撞后两个物体的动能）
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2|V1'*V2'|cosθ
=
C
(θ是V1'和V2'的夹角)
m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(m1^2|V1'|^2
m2^2|V2'|^2)
*
cosθ
=
C
m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
=
C
问题变为：m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
-C
=
求E1'
+
E2'最大值。
这是一个求约束条件条件极值，根据拉格朗日乘数法：有f(x，y，z)=0，求g(x，y，z)的极值方法是：构造一个函数T(x，y，z)=
g(x，y，z)
+
λ
f(x，y，z)
T(x，y，z)和g(x，y，z)有相同的极值。
T(x，y，z)
分别对x，y，z的偏微分=0，可解除极值条件。
构造函数T(E1'，E2'，θ)=
E1'
+
E2'
+
λ(m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
-C)
T分别E1'、E2'、θ
求偏微分=0
...
...
...
解得
sinθ
=
（速度方向相同）
E1'/m1
=
E2'/m2
（速度大小相等）
即：共速
完全非弹性碰撞速度公式推导
m1*v1+m*v2=(m1+m2)*v
-->碰后二者具有共同速度v=(m1*v1+m*v2)/(m1+m2)

【完全非弹性碰撞速度公式推导】